[Fourier Transform] 1차원 푸리에 변환의 특성 (1)

PROPERTIES OF ONE-DIMENSIONAL FOURIER TRANSFORM

 

 

FT는 광범위한 시간 신호의 FT를 계산할 뿐만 아니라 이 변환의 주요 개념을 이해하는 데 도움이 되는 몇 가지 매우 흥미로운 일반적인 특성을 가지고 있다.

 

Signal Shift

 

이 성질에 따르면, 신호가 시간적으로 이동하면 FT의 크기는 (모든 주파수에 대해) 동일하게 유지된다. 구체적으로, 신호 g(t)와 임의의 시간 이동 t0에 대해

 

 

식의 복소 지수의 크기는 1로 평가되므로, FT의 크기는 g(t)의 시간 이동 t0 이동과 독립적이라는 것이 명백하다. 이 관찰은 직관과 일치한다. 예를 들어, 오늘 한 번, 내일 한 번 음악을 들을 수 있고, 그리고 나서 며칠 후에 같은 음악을 들을 수 있다면, 그 음악이 다르게 들릴까에 대한 답은 "아니오"다. 시간이나 날이 다를지 모르지만 (시간 이동), 음악은 항상 첫 날과 관련이 있을 것이다. 이 개념을 더 잘 이해하기 위해, 2-D 세계와 관련된 또 다른 비유를 생각해 본다면, 현미경으로 슬라이드를 분석하고 있다고 가정한다. 만약, 슬라이드를 왼쪽이나 오른쪽으로 조금 움직인다면, 현미경 아래의 원래 이미지는 과연 변하는지에 대한 반응은 다음과 같은 결론을 가져다 줄 것이다. 시간 영역에서 신호의 시간 이동은 FT의 크기를 바꾸지 않는다. 시간 이동은 단순히 시간 신호의 FT에 "위상 이동"을 도입한다. 위상의 변화는 단순히 신호가 다른 시간에 시작되었다는 것을 의미하며, 이것은 시간 신호로부터 명백하다.

 

Convolution

 

컨볼루션은 선형 분석의 세계에서 기본적인 연산이며 신호 및 영상 처리에서 중심적인 역할을 한다. 두 신호 간의 컨볼루션 연산, g1(t)과 g2(t)(g1(t)*g2(t))는 다음과 같이 정의된다.

 

 

컨볼루션 연산의 직접적인 계산은 복잡하고 시간이 많이 소요되는 많은 수학적 계산을 포함한다. 그러나 FT가 계산 집약도가 훨씬 낮은 컨볼루션을 계산하는 대안적인 방법을 만든다는 것을이다. g1(t) * g2(t) (g1(t)와 g2(t))를 계산하기 위해서는 관련된 신호를 식별하고 존중되는 신호의 FT를 계산해야 하며 (즉, G1(f)와 G2(f)), 이 둘을 곱한 다음(즉, G1(f) G2(f)), 결과의 역푸리에 변환 (IFT)를 찾아야 한다. 이렇게 하면 컨볼루션의 진정한 정의에 관련된 길고 지루한 적분이나 수학 없이 g1(t) * g2(t)를 계산할 수 있다. 시간 영역에서 주파수 영역으로 이동하는 개념을 이해하면 계산 시간을 상당히 절약할 수 있다. 컨볼루션의 성질은 선형 시스템을 분석하는 데 매우 중요하다.