푸리에 변환 (Fourier Transform)

푸리에 변환 (Fourier Transform)

 

신호 및 이미지 처리에 사용되는 모든 변환 중에서 푸리에 변환 (FT)은 아마도 가장 일반적으로 사용되는 변환일 것이다. 신호는 여러 다양한 영역에서 표현될 수 있으며, 그 중에서 시간이 아마도 가장 직관적인 영역일 것이다. 시간 신호는 "언제" 사건이 발생하는지에 대한 질문에 답할 수 있는 반면, FT 도메인은 "얼마나 자주"로 시작하는 질문을 처리한다.

 

예를 들어, 여러분이 한 커뮤니티에서 설문지를 작성하여 구성원들의 쇼핑 습관을 연구한다고 가정한다면 "여러분은 보통 어떤 요일에 쇼핑을 가십니까?" 또는 "어떤 시간에 절대 쇼핑을 가지 않으세요?"와 같은 질문을 할 때 유용한 정보를 얻을 수 있다. 이 정보는 사람들의 쇼핑 습관의 "시간" 요소를 이해하고 시각화하는 데 도움이 된다. 또한, 모든 시간의 인스턴스에서 쇼핑을 하는 사람들의 수 (즉, 쇼핑하는 사람 수 대 시간)를 나타내는 시간 신호를 준비하면 앞서 언급한 모든 질문에 대한 답을 얻을 수 있다. 이제 "얼마나 자주 쇼핑을 가십니까?" 또는 "몇 %의 사람들이 일주일에 두 번 쇼핑을 가십니까?"와 같은 다른 질문에 대한 답은 주파수 영역을 형성하고 있으며, 이 영역에서 신호 처리는 FT에 의해 형성된다. 시간과 주파수의 정보는 서로 완전히 동일하지 않으며, 두 도메인 모두 서로 정보를 얻을 수 없다. 그러나 계산 크기와 특정 정보의 가시성을 고려할 때, 한 도메인은 다른 도메인보다 선호될 수 있다.

 

ONE-DIMENSIONAL CONTINUOUS FOURIER TRANSFORM

 

1-D 연속형 FT에 대한 공식적인 정의 g(t)를 시간의 연속형 신호로 고려한다면 G(f)와 같이 이 신호의 FT는 다음과 같이 정의된다.

 

 

여기서, f는 주파수 변수 (흔히 Hz, kHz, MHz 등의 단위로 표시됨) j는 허수(즉, j2 = -1)이다. 식에서 적분은 시간이 지남에 따라 일어나고 있으므로 그 결과 함수, 즉 G(f)는 더 이상 시간의 함수가 아니라는 것을 유의해야 한다. 또한, G(f)는 f의 복소 함수라는 것이다. 이는 G(f)를 다음과 같이 설명할 수 있음을 의미한다.

 

 

여기서, |G(f)|는 G(f)의 크기이고 ∠G(f)는 G(f)의 위상을 나타낸다. 주어진 주파수에서 |G(f)|의 값을 자세히 살펴보면 푸리에 영역에서 신호를 표현하는 것의 주요 장점이 드러난다. 사람들의 쇼핑 습관에 대한 예를 계속해서 보면 g(t)는 시간이 초 단위로 측정되는 시간 t에서 쇼핑을 하는 사람들의 수라고 가정한다면 하루에 한 번 쇼핑을 가는 사람들의 수를 알아보기 위해 (즉, 86,400초에 한 번) f = 1/86,400Hz에 대한 |G(f)|를 계산하기만 하면 된다. 시간 신호에서 동일한 정보를 얻을 수 있었지만 FT는 앞서 탐색한 것과 같은 주파수 관련 질문에 훨씬 더 쉽게 접근할 수 있다.

 

시간 신호에 대한 FT를 계산할 수 있다면, FT 도메인에 있는 주파수 신호로부터 시간 신호를 계산할 수 있어야 한다. 이러한 변환을 G(f)를 입력으로 받아들이고 g(t)를 다음과 같이 계산하는 역 FT (또는 합성 변환)라고 한다.

 

 

첫 번째 흥미로운 관측은 가우시안 시간 신호의 FT이다. 표에서 볼 수 있듯이 이 함수의 FT도 가우시안 형태를 가지고 있다. 이 관측은 비굴절 초음파 생성과 같은 응용 분야에서 중요한 역할을 한다. 표의 또 다른 관측은 정현 함수의 FT를 다루고 있다. 표에 따르면 주파수 f0를 가진 코사인 함수의 FT의 크기는 f0와 -f0에 중심을 둔 주파수 임펄스의 한 쌍이다. 과학과 공학의 많은 현상을 분석하는 데 있어서 신호의 주기성과 정현파 변화를 발견하는 것이 바람직하다. 신호의 시간 영역 표현으로부터 신호의 주기성을 관찰할 수 있지만 FT의 특성은 신호를 형성하는 정확한 정현파 성분의 이름을 붙임으로써 주기성의 정량적 분석을 위한 완벽한 도구가 된다.