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Mathematics17

수치해석학 (Numerical Analysis) 수치해석학 (Numerical Analysis) 수치해석학이란 어떤 함수나 방정식의 해를 컴퓨터를 이용해 수치적으로 근사해서 근삿값을 구하는 알고리즘에 대한 연구를 하는 학문이다. 수치해석은 실생활에서 널리 사용된다. 바빌로니아 사람들이 루트 2의 근사값을 구한 예에서 볼 수 있듯이, 현대의 수치해석 역시 정확한 해를 구하지는 않는다. 왜냐하면 정확한 해를 구하는 것이 실제로는 불가능한 경우가 많기 때문이다. 그대신 대다수의 경우, 수치해석에서는 합리적인 수준의 오차를 갖는 근사값을 구하는 것에 집중한다. 수치해석의 응용분야는 일반적으로 공학과 물리학이다. 하지만 21세기에 들어서면서 그 응용 분야가 확대되어, 생명공학과 과학적인 계산을 적용한 예술 분야에서도 사용된다. 상미분 방정식은 행성들의 움직임과.. 2023. 7. 18.
[Graph Theory] 작은 세상 네트워크 (Small World Network) 작은 세상 네트워크 (Small World Network) 작은 세상 네트워크는 대부분의 노드가 서로의 이웃이 아니지만 주어진 노드의 이웃이 서로의 이웃일 가능성이 있는 수학적 그래프이다. 이로 인해 대부분의 인접 노드는 적은 수의 홉 또는 단계로 다른 모든 노드에서 도달할 수 있다. 특히, small-world 네트워크는 무작위로 선택된 두 노드 사이의 일반적인 거리 L (필요한 단계 수)이 네트워크의 노드 수 N의 로그 에 비례하여 증가하는 네트워크로 정의된다. 글로벌 클러스터링 계수는 작지 않다. 소셜 네트워크의 맥락에서 이것은 낯선 사람들이 짧은 지인 사슬로 연결되는 작은 세계 현상을 초래한다. 소셜 네트워크 , Wikipedia와 같은 위키, 유전자 네트워크 , 심지어 인터넷 의 기본 아키텍처를.. 2023. 6. 8.
[Graph Theory] 네트워크 과학 (Network Science) 네트워크 과학 (Network Science) 네트워크 과학은 통신망, 컴퓨터망, 생물학적 네트워크, 인지 및 의미망, 소셜 네트워크 등의 복잡한 네트워크를 노드 (또는 꼭짓점)로 표현되는 별개의 요소 또는 행위자 와 요소 또는 링크 (또는 가장자리)로 행위자 간의 연결을 고려하여 연구하는 학문 분야이다. 이 분야는 컴퓨터 과학의 정보 시각화, 통계의 추론 모델링, 사회학의 사회 구조에서 수학의 그래프 이론, 물리학의 통계 역학, 데이터 마이닝을 포함한 이론과 방법을 사용한다. 미국 국립 연구 위원회는 네트워크 과학을 "이러한 현상의 예측 모델로 이끄는 물리적, 생물학적 및 사회적 현상의 네트워크 표현에 대한 연구"로 정의한다. 무작위 네트워크 (Random network) 노드들 사이의 연결 유무를 주.. 2023. 6. 8.
그래프 이론 (Graph Theory) 그래프 이론 (Graph Theory) 그래프 이론 (graph theory, 圖論, 도론)은 수학에서 객체 간에 짝을 이루는 관계를 모델링하기 위해 사용되는 수학 구조인 그래프에 대한 연구이다. 이 문맥에서 그래프는 꼭짓점 (버텍스, vertex), 교점 (노드, node), 점 (포인트, point)으로 구성되며 이것들은 변 (엣지, edge, 간선), 즉 선으로 연결된다. 그래프는 무향 (무방향성)일 수 있는데 이는 각 변 (선)으로 연결되는 두 개의 꼭짓점 간에 구별이 없다는 의미이며, 한편 변은 한 꼭짓점에서 다른 꼭짓점 간에 방향이 있을 수도 있다. 그래프는 이산 수학의 주요 논제 가운데 하나이다. https://ko.wikipedia.org/wiki/%EA%B7%B8%EB%9E%98%ED%9.. 2023. 6. 8.
[Computational Science] 기계 학습 (Machine Learning) 기계 학습 (Machine Learning) 기계 학습 (機械學習) 또는 머신 러닝 (machine learning)은 경험을 통해 자동으로 개선하는 컴퓨터 알고리즘의 연구이다. 인공지능의 한 분야로 간주된다. 컴퓨터가 학습할 수 있도록 하는 알고리즘과 기술을 개발하는 분야이다. 가령, 기계 학습을 통해서 수신한 이메일이 스팸인지 아닌지를 구분할 수 있도록 훈련할 수 있다. 기계 학습의 핵심은 표현 (representation)과 일반화 (generalization)에 있다. 표현이란 데이터의 평가이며, 일반화란 아직 알 수 없는 데이터에 대한 처리이다. 이는 전산 학습 이론 분야이기도 하다. 다양한 기계 학습의 응용이 존재한다. 문자 인식은 이를 이용한 가장 잘 알려진 사례이다. Statistical .. 2022. 3. 14.
[Computational Science] 데이터 과학 (Data Science) 데이터 과학 (Data Science) 데이터 과학 (data science)이란, 데이터 마이닝 (Data Mining)과 유사하게 정형, 비정형 형태를 포함한 다양한 데이터로부터 지식과 인사이트를 추출하는데 과학적 방법론, 프로세스, 알고리즘, 시스템을 동원하는 융합분야다. 데이터 과학은 데이터를 통해 실제 현상을 이해하고 분석하는데 통계학, 데이터 분석, 기계학습과 연관된 방법론을 통합하는 개념으로 정의되기도 한다. 데이터의 구체적인 내용이 아닌 서로 다른 성질의 내용이나 형식의 데이터에 공통으로 존재하는 성질, 또는 그것들을 다루기 위한 기술의 개발에 착안점을 둔다는 특징을 가진다. 사용되는 기술은 여러분야에 걸쳐있으며 수학, 통계학, 컴퓨터 과학, 정보공학, 패턴인식, 기계학습, 데이터마이닝, .. 2022. 3. 14.
계산과학 (Computational Science) 계산과학 (Computational Science) 계산과학 (computational science, scientific computing)은 수치적 방법과 컴퓨터 계산을 이용하여 복잡한 과학이나 공학 문제를 이해하거나 해결하는 분야이다. 계산과학은 기존의 과학과 공학 분야에서 사용되는 방법인 이론 및 실험을 통하여 연구 대상에 대한 이해를 얻어내는 것이 아니라, 주로 컴퓨터를 이용하여 수학적인 모델을 해석하는 방법을 통하여 연구 대상을 이해한다. 수치해석은 계산과학에서 사용되는 중요한 방법이다. 수치적인 시뮬레이션은, 그 시뮬레이션되는 일의 본성에 따라 다음과 같은 다양한 목적을 지닌다. 이미 일어난 사건의 재구성 및 이해 (예를 들어, 지진이나 쓰나미 같은 자연적인 재해) 최적화 (예를 들어, 기술.. 2022. 3. 13.
[Mathematical model] De Young-Keizer model De Young-Keizer model Ca2+는 어디에서나 볼 수 있는 세포 내 2차 메신저이며 여러 다른 세포 유형의 증거에 따르면 중요한 신호 방식은 정상 상태 수준의 유지보다는 진동을 통한 것임을 시사한다. inositol 1,4,5-triphosphate (IP3) 매개 Ca 2+ 방출의 진동 거동은 Gary W. De Young과 Joel Keizer에 의해 모델링되었다. 세포 내 Ca 2+ 농도의 진동을 설명하기 위해 몇 가지 메커니즘이 제안되었다. 이 연구에서 De Young과 Keizer는 세포질 Ca 2+ 에 대한 IP3 수용체 / 채널의 이상 반응 만으로도 Ca 2+ 진동을 유도하기에 충분할 수 있다는 아이디어를 조사했다. 3개의 동등하고 독립적인 소단위가 Ca 2+ 전도 에 관여한다.. 2022. 3. 11.
[Mathematical model] 맥컬럭-피츠 모델 (McCulloch-Pitts Model) 맥컬럭-피츠 모델 (McCulloch-Pitts Model) 초기의 신경 시스템 모델 중에서 아마도 가장 잘 알려진 것은 1943년 Warren McCulloch과 Walter Pitts에 의해 제안된 모델이다. 그들은 인간의 두뇌를 논리적 서술을 구현하는 이진 원소들의 결합으로 추측했는데, 이진 원소인 뉴런은 on이나 off 상태를 나타낸다. 맥컬럭과 피츠가 쓴 논문 (A Logical calculus of ideas immanent in nervous activity) 의 요약 부분 중의 첫 단원을 소개한다. 신경 활동의 '전부 아니면 전무 (All-or-Nothing)' 적인 특성 때문에 신경계의 일과 그들 사이의 관계들은 명제논리 (propositional logic) 로 취급된다. 모든 망의 행.. 2022. 2. 8.
[Differential equation] Euler–Maruyama method Euler–Maruyama method Euler–Maruyama 방법 (Euler 방법)은 확률적 미분 방정식 (SDE) 의 근사 수치 해법이다. Stochastic differential equation Euler-Maruyama method : For n = 0, . . . , N − 1 Geometric Brownian motion Exact solution Wiener process 확률 과정 이론에서, 위너 확률 과정 (Wiener stochastic process) 또는 위너 과정은 시간차 △t의 증분의 확률 분포가 평균 0, 분산 △t의 정규 분포를 이루며, 각 증분이 서로 독립이며, 그 궤적이 거의 확실하게 연속적인 연속 시간 확률 과정이다. https://en.wikipedia.org/.. 2022. 2. 8.
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