[Signal] 스펙트럼 분해 (Spectral decomposition)

스펙트럼 분해 (Spectral decomposition)

 

스펙트럼 분해는 모든 신호가 서로 다른 주파수를 갖는 정현파의 합으로 표현될 수 있다는 아이디어이다. 그리고 가장 중요한 수학적 아이디어는 신호를 가져와 스펙트럼을 생성하는 이산 푸리에 변환 (discrete Fourier transform, DFT)이다. 스펙트럼은 신호를 생성하기 위해 합산되는 정현파 세트이다.

 

그 다음으로, 가장 중요한 알고리즘은 DFT를 계산하는 효율적인 방법인 고속 푸리에 변환 (Fast Fourier transform, FFT)이다.

 

 

예를 들어, 그림은 바이올린 녹음 스펙트럼을 보여준다. x축은 신호를 구성하는 주파수 범위이다. y축은 각 주파수 성분의 강도 또는 진폭 (amplitude)을 나타낸다. 가장 낮은 주파수 성분을 기본 주파수 (fundamental frequency)라고 한다. 이 신호의 기본 주파수는 440Hz에 가깝다 (실제로는 약간 낮거나 평탄함). 이 신호에서 기본 주파수는 가장 큰 진폭을 가지므로 지배적인 주파수이기도 하다. 일반적으로 인지된 소리의 음높이는 기본 주파수가 지배적이지 않더라도 기본 주파수에 의해 결정된다. 스펙트럼의 다른 스파이크 (spikes)는 기본파의 정수배인 주파수 880, 1320, 1760 및 2200에 있다. 이러한 구성 요소는 기본음과 음악적으로 조화를 이루기 때문에 고조파 (harmonics)라고 한다.

 

880Hz : A5의 주파수로 기본 주파수보다 한 옥타브 높다. 옥타브는 주파수가 두 배로 증가한 것 1320Hz : 대략 E6이며, 이는 A5 위의 perfect A5. perfect fifth와 같은 음정에 익숙하지 않은 경우 1760Hz : A6이며 기본보다 두 옥타브 높음 2200Hz : 대략 C♯7이며, 이는 A6보다 메이저 3분의 1에 해당

 

이러한 고조파는 모두 같은 옥타브에 있는 것은 아니지만 A 메이저 코드의 음을 구성한다. 그 중 일부는 서양 음악을 구성하는 음표가 평균율 (equal temperament)에 맞게 조정되었기 때문에 대략적인 것이다. 고조파와 그 진폭이 주어지면 정현파를 더하여 신호를 재구성할 수 있다.