이산 푸리에 변환

이산 푸리에 변환 (Discrete Fourier transform)

 

푸리에 분석은 신호의 주파수 내용에 대한 통찰력을 얻는 데 유용하다. 이산 신호 x ∈ RN의 이산 푸리에 변환 (DFT) X는 고정 기저 함수가 있는 단일 대칭 행렬 W 에 대한 x의 선형 투영으로 정의된다.

 

 

DFT X는 신호 주파수의 크기와 위상 정보를 인코딩하는 복소수이다. 주기가 2π인 대칭 및 주기 함수이다. X의 크기는 [0, π] 또는 [0, F s / 2] 범위에 표시되며 여기서 Fs는 샘플링 주파수이다.

 

DFT의 분해능은 신호의 샘플 수 x에 따라 달라진다. 따라서 정보 손실을 방지하기 위해 원래 신호의 모든 샘플을 사용하는 것이 좋다.

 

DFT는 가역적이다. 투영으로도 표현되는 역 DFT를 사용하여 원래 신호를 재구성할 수 있다.

 

 

DFT의 단순한 계산에는 N^2연산이 필요하다. 그러나 고속 푸리에 변환 덕분에 계산 복잡도는 NlogN이 된다. DFT를 계산하기 위해 고속 푸리에 변환 알고리즘 (FFT)을 사용할 수 있지만 샘플 수를 2의 거듭제곱으로 만들기 위해 먼저 신호를 0으로 채워야 한다 (ex: Cooley-Tukey FFT 알고리즘, Wikipedia 참조).

 

푸리에 분석의 한 측면은 대부분의 신호 에너지를 압축하는 주파수 대역을 식별하는 것이다. Parseval의 정리에 따르면 총 에너지는 시간 영역과 주파수 영역 모두에서 동일하다.

 

주파수에 대한 신호의 전력 스펙트럼 밀도(PSD)의 확산

 

푸리에 기능은 인접 데이터 포인트 간의 상관 관계를 유지한다. 그러나 시간적 구조는 주파수 영역에서 손실된다. 이것은 다른 신호가 푸리에 매핑에서 매우 유사한 크기 표현을 생성하는 것을 가능하게 한다.