나이퀴스트 이론 (Nyquist Theorem)

나이퀴스트 이론 (Nyquist Theorem)

 

나이퀴스트 이론이란, 신호는 그 신호에 포함된 가장 높은 진동수의 2배에 해당하는 빈도로 일정한 간격으로 샘플링하면 원래의 신호로 복원할 수 있다는 샘플링 이론이다.

 

 

사람의 가청 주파수 대역은 20Hz ~ 20KHz이다.

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만약 전화기를 통해 지원할 수 있는 최대 주파수는 4KHz 이라면, 샘플링 이론을 적용하여 최대 주파수의 두 배 이상을 적용하면 8KHz, 즉 초당 8000번 이상 샘플링 한다면 다시 복원했을 때 완벽하게 복원할 수 있게 된다.

 

일반적인 신호는 아날로그 신호인데, 컴퓨터가 처리할 수 있으려면 디지털 신호로 바꿔줘야 한다. 그런데, 이 디지털 신호로 바꿔주는 과정에서 신호의 손실이 없어야 일반적인 신호와 가까운 신호로 얻을 수 있다. 아날로그 신호를 디지털화 하는 과정을 ADC (Analog to Digital Convertion)라 한다. 아날로그 신호를 디지털 데이터로 변환하려면 샘플링이라는 과정을 거치게 된다.

 

 

A/D 컨버터에서 샘플링된 디지털 신호는 디지털 데이터 형태로 저장이 된다. 이 과정에서 양자화 (Quantization)가 이루어진다. 샘플링된 신호를 양자화를 시킨다. 양자화란 여러 단계로 나뉜 범위안에서 샘플링된 신호에 가까운 범위를 대표하는 정수값으로 바꾸는 것이다.

 

오디오 CD의 경우 16비트로 양자화되기 때문에, 신호 레벨은 216=65536 레벨로 구분된다. -32768 ~ 0 ~ +32767의 65536개의 양자화 레벨이다. 양자화 레벨은 간단히 해상도로 생각하면 된다.

 

정수로 바뀌는 과정에서 나오는 오차가 양자화 오차이다. 즉, 아날로그 신호와의 오차를 양자화 오차 (Quantization Error)라고 한다. 오디오 파일이 재생될 때 D/A 컨버터에서는 디지털 데이터를 다시 아날로그 신호로 변환하게 된다. 그리고 필터를 통과하면 원래의 아날로그 신호로 복원된다. 양자화 오차를 무시하고 샘플링 이론이 만족되면, 완벽하게 오리지널 신호가 복원된다.

 

양자화 오차 때문에 신호를 복원했을 때, 우리는 기존 아날로그 신호와는 차이가 존재하는 신호를 얻게된다. 그렇다면, 신호를 복원했을 때 기존 아날로그 신호의 유실 없이 복원되기 위해서는 얼마만큼 신호를 샘플링하기 위한 것이 나이퀴스트 주파수이다.

 

샘플링 이론 (sampling theorem)에 따르면, 그 신호가 포함하고 있는 가장 빠른 주파수의 2배이상으로 샘플링해야 한다. 이것이 바로 나이퀴스트 주파수이다.

 

 

언더 샘플링은 불균형한 데이터 셋에서 높은 비율을 차지하던 클래스의 데이터 수를 줄임으로써 데이터 불균형을 해소하는 아이디어이다. 하지만 이 방법은 학습에 사용되는 전체 데이터 수를 급격하게 감소시켜 오히려 성능이 떨어질 수 있다.

 

오버 샘플링은 낮은 비율 클래스의 데이터 수를 늘림으로써 데이터 불균형을 해소하는 아이디어이다. 이 방법이 가능하다면 언더 샘플링보다 훨씬 좋은 해결책이 될 수 있지만, 존재하지 않은 데이터를 어떻게 생성하느냐이다.

 

undersampling된 신호를 아날로그 신호로 다시 복원했을 때, 기존 신호와 많이 다른 것을 볼 수 있고, nyquist frequency로 샘플링된 신호를 아날로그 신호로 다시 복원하면 기존 신호와 유사함을 확인할 수 있다.

 

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나이퀴스트 이론, 샘플링 레이트